Содержание
MMO-2018: Статистика
MMO-2018: Статистика
Олимпиада для 8–11 классов прошла 11 марта 2018 года (2 день для 11 кл. — 24 марта).
Условия и решения всех задач см. в брошюре
«LXXXI ММО. Задачи и решения».
Опубликованы списки награжденных.
8 класс
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| + | 739 | 162 | 75 | 249 | 35 | 11 |
| +− | 3 | 17 | 2 | 38 | 2 | 1 |
| −+ | 0 | 180 | 3 | 29 | 8 | 15 |
| − | 339 | 754 | 589 | 699 | 521 | 525 |
| 0 | 222 | 190 | 634 | 288 | 737 | 751 |
| 57% | 14% | 6% | 22% | 3% |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| # | 529 | 476 | 136 | 94 | 40 | 24 | 4 |
| ПГ | III | II | I | ||||
Всего 1303 работы.
9 класс
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| + | 294 | 212 | 63 | 39 | 9 | 2 |
| +− | 125 | 11 | 9 | 5 | 4 | 0 |
| −+ | 145 | 32 | 13 | 9 | 38 | 1 |
| − | 408 | 717 | 887 | 919 | 921 | 969 |
| 43% | 23% | 7% | 5% |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| # | 508 | 267 | 120 | 48 | 25 | 2 | 2 |
| ПГ | III | II | I | ||||
Всего 972 работы.
10 класс
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| + | 248 | 68 | 158 | 7 | 6 | 3 |
| +− | 9 | 1 | 11 | 5 | 3 | 2 |
| −+ | 1 | 30 | 0 | 22 | 5 | 10 |
| − | 257 | 309 | 285 | 467 | 510 | 238 |
| 0 | 299 | 406 | 360 | 313 | 290 | 561 |
| 32% | 8% | 21% |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| # | 486 | 204 | 75 | 33 | 12 | 4 | 0 |
| ПГ | III | II | I | ||||
Всего 814 работ.
11 класс
1 день (11 марта)
| 1 | 2 | 3а | 3б | 4 | 5 | 6а | 6б | |
| + | 404 | 304 | 248 | 148 | 175 | 37 | 49 | 9 |
| +− | 49 | 16 | 7 | 27 | 65 | 5 | 5 | 2 |
| +/2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | 0 |
| −+ | 30 | 16 | 9 | 20 | 55 | 11 | 7 | 3 |
| − | 179 | 326 | 398 | 467 | 367 | 609 | 592 | 648 |
| 68% | 48% | 39% | 26% | 36% | 6% | 9% |
| 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | |
| # | 145 | 1 | 120 | 3 | 111 | 1 | 97 | 2 |
| 4 | 5 | 5. 5 | 6 | 7 | 8 | |||
| # | 64 | 71 | 2 | 34 | 7 | 4 |
Всего 662 работы.
2 день (24 марта)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| + | 131 | 189 | 31 | 8 | 9 |
| +− | 4 | 7 | 7 | 5 | 1 |
| −+ | 0 | 5 | 97 | 15 | 7 |
| − | 127 | 61 | 127 | 234 | 245 |
| 52% | 75% | 15% |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| # | 36 | 104 | 87 | 27 | 7 | 1 |
Всего 262 работы.
| P | 0 | 3 | 3.5 | 4 | 5 | 5.5 | 6 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 14 | 15 | 18 | 21 | 24 | 28 | 32 | 40 |
| # | 36 | 47 | 2 | 25 | 20 | 1 | 36 | 25 | 4 | 22 | 1 | 14 | 2 | 7 | 7 | 3 | 6 | 2 | 1 | 1 |
| ПГ | III | II | I | |||||||||||||||||
Другие годы:
2017,
2016,
2015…
Московская математическая олимпиада
Московская математическая олимпиада (ММО, она же — Московская олимпиада школьников по математике) проводится среди учеников 8 — 11 классов.
В Перечне РСОШ неизменно имеет первый уровень.
Регистрация участников — в ЕСР.
Стиль задач Московской математической олимпиады близок к стилю Всеросса и финального устного тура Турнира городов. Чтобы получить диплом ММО, нужно иметь хорошие математические способности и серьёзно заниматься математикой.
Путь многих победителей и призёров ММО начинается классе в пятом-шестом — с математических кружков и участия в Математическом празднике, который проводится в МГУ.
Задачи ММО требуют высокой математической культуры и известного олимпиадного профессионализма. Например, уже задачи восьмого класса ММО существенно отличаются по сложности от задач Матпраздника (то есть, скачок в сложности при переходе от седьмого класса Матпраздника к восьмому классу ММО является куда более ощутимым, чем при переходе от шестого класса Матпраздника к седьмому). Соответственно, в 9, 10 и 11 классах задачи ММО становятся всё сложнее и сложнее. Поэтому если вы мечтаете о дипломе ММО, то попадать в эту «струю» нужно по возможности раньше (желательно уже в начальной школе принимать участие в олимпиадах, а в четвёртом или пятом классе начинать участвовать в Матпразднике за шестой класс).
Как определяются победители и призёры ММО
Главную роль тут играет количество решённых школьником задач. По определению, задача считается решённой, если за неё поставлен «плюс», «плюс с точкой» или «плюс-минус».
В 8 — 10 классах ММО проводится в один день. Предлагается шесть задач. Победители и призёры определяются по количеству решённых задач.
В 11 классе ММО проходит в два дня. В первый день предлагается шесть задач, во второй — пять. Приглашение на второй день получают лишь те участники, которые в первый день решили не менее определённого количества задач (это число устанавливается жюри и равно обычно двум или трём). При определении победителей и призёров работает правило произведения (сравните его с правилом суммы на МОШ по физике): вычисляется произведение числа задач, решённых участником в первый и во второй день.
В таблице представлены границы дипломов за последние годы в формате «1 степень/2 степень/3 степень».
Для 8, 9 и 10 классов указано количество Z решённых задач, а для 11 класса — произведение P числа решённых задач в первый и во второй день.
| Год | 8 класс (Z) | 9 класс (Z) | 10 класс (Z) | 11 класс (P) |
|---|---|---|---|---|
| 2022 | 5/4/3 | 5/4/3 | 5/4/3 | 15/10/6 |
| 2021 | 5/4/3 | 5/4/3 | 5/4/3 | 15/10/8 |
| 2020 | 5/4/3 | 5/4/3 | 5/4/3 | 15/10/5 |
| 2019 | 6/5/4 | 6/5/3 | 5/4/3 | 20/15/8 |
| 2018 | 6/5/4 | 5/4/3 | 5/4/3 | 28/14/6 |
| 2017 | 5/4/3 | 6/5/4 | 5/4/3 | 20/8/4 |
Заметим, например, что в соответствии с правилом произведения в 2018 году школьник, решивший пять задач в первый день и одну задачу — во второй (P=5), остался без диплома; а тот, кто решил две задачи в первый день, и три — во второй (P=6), получил диплом III степени (оба случая имели место в действительности).
В качестве очевидного следствия правила произведения отметим также, что нулевой результат во второй день (при любом результате первого дня) лишает вас шансов на диплом. В этом смысле правило суммы на МОШ по физике более лояльно: оно позволяет стать призёром (а то и победителем) по итогам, например, одного только второго тура при сколь угодно плохо написанном первом.
Задачи ММО последних лет
| 8 класс | 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16 15, 14, 13, 12, 11, 10, 09 |
| 9 класс | 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16 15, 14, 13, 12, 11, 10, 09 |
| 10 класс | 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16 15, 14, 13, 12, 11, 10, 09 |
| 11 класс | 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16 15, 14, 13, 12, 11, 10, 09 |
Геометрические задачи от IMO: стартовая страница
Начальная страница
Добро пожаловать
Здесь вы можете :
- найти задачи по геометрии с математических олимпиад
- прочитайте их решения, опубликуйте свое решение (artofproblemsolving)
- найти в одном pdf все задачи (не только по геометрии), обычно с их решениями (если онлайн), во вкладке каждого соревнования или собранные здесь сборники олимпиадных задач с решениями
- узнать, кто (из Греции и Кипра) предложил задачу для ИМО и Балканского МО (приложение)
- узнать, какие онлайн (бесплатные) журналы по геометрии издаются в настоящее время
- прочитать о рекомендациях по классической геометрии и новых доказательствах известных теорем геометрии (в основном греками)
- скачать в формате PDF сборники и заметки по геометрии, книги по геометрии и статьи по геометрии из
- Канада IMO Training
- Найти эклидовые геометрии (с или без Aops Links).
- В мире математики (У свити математики) (украинский) [полностью]
- KöMaL (венгерский)
- Математический Экскалибур [полностью]
- Математические размышления (MR)
- Quantum Magazine (английское издание) [полностью]
- скачать сборники задач в формате PDF из
- Математические размышления (MR)
На данный момент здесь собраны задачи из:
обозначения
: [x p / y h] = x Проблемы в y часов
[все] = все проблемы с геометрией олимпиады, от начала
Многонациональные соревнования
- Арабская олимпиада по математике 2018-
- Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике (APMO) 1989- [5 часов / 4 часа]
- Австрийско-польское математическое соревнование 1978–2006 гг. [продолжение MEMO]
- Балканская математическая олимпиада 1984- (также на греческом языке) [4 ч / 4½ ч ] (краткий список)
- Командный математический конкурс «Балтийский путь» 1990- (шорт-лист)
- Математическая олимпиада Бенилюкса (BxMO) 2009- [4 п / 4 ½ часа]
- Кавказская математическая олимпиада 2015- [4ч / 4ч / 2д]
- Математическая Олимпиада Центральной Америки и Карибского бассейна. (OMCC) 1999 — [как в ИМО] (краткий список)
- Cono Sur Math Olympiad / Southern Cone (OMCS) 1989- (шорт-лист)
- Чешско-польско-словацкий матч 1995 — [как в ИМО] [начало как чешско-словацкий матч]
- Чешско-польско-словацкий матч юниоров 2012 г. – [как в ИМО]
- Европейская математическая олимпиада девушек (EGMO) 2012- [как в ИМО]
- Кубок Европы по математике (EMC) 2012- [4 п / 4 ч]
- Финал Кубка по математике 2019-
- Франкоязычная математическая олимпиада (OFM) 2020-
- Формула единства / Третье тысячелетие 2013-
- Математическая олимпиада Персидского залива (ГМО) 2012- [4p]
- Венгрия — Израильское двустороннее математическое соревнование 1990–2009 (-04) [как в ИМО]
- Ибероамериканская математическая олимпиада (OIM) 1985- [как в ИМО] (шорт-лист)
- Международная математическая олимпиада (IMO) 1959- (1959-92 также на греческом языке)
- Шорт-лист Международной математической олимпиады (IMO SHL ISL) 1993–2018 (и 1968–1969 гг. )2)
- Иранская олимпиада по геометрии (IGO) 2014- [5 с / 4 ½ часа]
- Istmo Centroamericano 2017-19
- младший балканский математическая олимпиада с шорт-листом (JBMO) 1997- [4 P/ 4 ½ ч] (годы 2009-16 также на греческом)
- Португалоязычная математическая олимпиада (OM CPLP) 2011-
- Mathematical Ashes (Великобритания против Австралии) 2008- [3 ч / 4 ½ ч]
- Майская Олимпиада (Майо) 1995-
- Средиземноморское математическое соревнование (MMC) 1998- [4 п / 4½ часа]
- Международная олимпиада мегаполисов (МОМ) 2016-
- средняя европейская математическая олимпиада (меморандум) 2007- [как индивидуальное: 4 p / 5 ч, как команда 6: 8 p / 5 ч]
- Nordic Mathematical Contest (NMC) 1987- [4 p / 4h]
- Панамериканская математическая олимпиада девочек (PAGMO)
- Панафриканская олимпиада по математике (PAMO) 2000-
- Математическая олимпиада в Риоплатенсе, уровни 1-3 (OMR) 1990-
- Румынский магистр математики (RMM) 2008- [как в ИМО]
- Шарыгинская олимпиада по геометрии EN & RU 2005-
- Конкурс математиков Шелкового пути (SRMC) 2002-
- Международный турнир по математике городов (ToT) 2001-10 (до 2001 г. )
- Tuymaada International Olympiad 1994- [2 дня, 4 P / 5H, также в области информатики, химия, физика]
- Соревнование ЮНЕСКО 1995-96
- Жаутыковская международная олимпиада (ИЖО) 2005- 0010
[продолжение MEMO] 
)2) 
) [IMO = 2 дня, 3 проблемы за 4 с половиной часов каждый день]
Команды (команда приложения)
- Baltic Way Matematic Team Contest
- Dürer Math Competition (Венгрия)
- Международный математический турнир буксиров (ToT) (старшие)
- Международные соревнования по математике (IMC) = EMIC+IWYMIC — Международный конкурс Mathematic Mathematics (EMIC) — Международная мировая молодежная математическая конкурс (IWYMIC)
- Математический Набой
- Средиземноморский молодежный математический чемпионат (MYMC)
- Национальная интернет-математическая олимпиада (NIMO) (ежемесячно) (лето-зима)
- Открытая онлайн-математика по математике (ОМО)
- Устная Московская городская командная математическая олимпиада
- Фиолетовая комета! Знакомство с математикой
- World Math Team Competition0010
Великобритания, США Канады (Приложение UK USA CANADA)
- Альбертские конкурсы по математике в средней школе (ARML)
- Ассоциация Математическая конкурс Квебек (AMQ Consours)
- Ассоциация
- Математический турнир A-Star
- Математическая олимпиада Bay Area (BAMO)
- Ежемесячный конкурс математического кружка Беркли
- Математический турнир Беркли
- Британская математическая олимпиада
- Калифорнийский технологический институт по математике им. Харви Мадда (CHMMC)
- Квалификационная олимпиада Канады по математике (CMOQR)
- Канадская математическая олимпиада (CMO)
- Canadian Open Math Challenge (COMC)
- Конкурс по информатике и математике Карнеги-Меллона (CMIMC)
- Знакомство с герцогом Математикой
- ELMO & ELMO Shortlist (математическая олимпиада на MOP)
- Соревнования Эксетерского математического клуба [Великобритания]
- Математический турнир Гарвардского Массачусетского технологического института
- Приглашение на математический турнир Гарварда и Массачусетского технологического института (HMIC)
- Ежемесячное соревнование по математике Гарварда и Массачусетского технологического института (HMMT)
- ΙInternational Mathematical Talent Search (IMTS)
- Математическая олимпиада Кеттерингского университета для старшеклассников
- Конкурс Мандельброта
- Math Majors of America Tournament for High Schools (MMATHS)
- Приз по математике за задачи для девочек и олимпиаду
- MOP Домашнее задание (MOSP)
- Национальная математическая интернет-олимпиада (NIMO) (ежемесячно) (лето-зима)
- Online Math Open (OMO)
- Математический конкурс Пи
- Математический конкурс Принстонского университета (PUMaC)
- Фиолетовая комета! Знакомство с математикой
- Математический турнир Университета Райса
- Математический конкурс с отличием в Сан-Диего
- Сан-Диего Power Contest
- Ежемесячный конкурс математического кружка Сан-Хосе
- Scottish Mathematical Challenge (SMC)
- Конкурс полных решений Toronto Math Circles (Канада)
- UK Junior / Intermediate / Senior Mathematical Challenge (UK JMC IMC SMC)
- Юношеская математическая олимпиада в Великобритании (UK JMO)
- Британская математическая олимпиада для девочек (UK MOG)
- Университет Алабамы в Бирмингеме UAB Math Talent Search
- Юниорская математическая олимпиада Соединенных Штатов Америки (USAJMO)
- Математическая олимпиада Соединенных Штатов Америки (USAMO)
- Ассоциация соревнований по математике США (USMCA)
- USA Mathematical Talent Search (USAMTS)
- Отборочный тест команды США
- Тест отбора команды США для отборочной команды (USA TSTST)
- US Ersatz Math Olympiad (USEMO)
- Математическая олимпиада штата Юта
- Математическая коалиция штата Вермонт Поиск талантов
- Wisconsin Mathematics, Engineer and Science Talent Search
Харви Мадда (CHMMC)Неофициальные соревнования
- Конкурс по созданию задач AoPS (APMC)
- Cyberspace Mathematic Competition (CMC)
- Deux MO (AOPS)
- EMMO 2016 (Индия)
- Геолимпиада 2015 (упс)
- Онлайн-олимпиада по функциональным уравнениям (FEOO)
- IMOC (Тайвань)
- InfinityDots MO (Таиланд)
- Международная олимпиада по математическому мастерству (IMEO)
- Kvanta MO (Украина)
- Математические олимпиады Сервер дискордов (моды)
- конкурсы MathLinks (AOPS)
- Мексика OMMOCK
- Metrix MO (AOPS)
- MOP Домашнее задание (MOSP)
- Национальные ежемесячные конкурсы MO в Интернете (NIMO)
- Национальный интернет MO Summer & Winter Contests (NIMO)
- OIFMAT (Чили) (FMAT)
- Oliforum конкурс (Италия)
- Olympic Revenge (Бразилия)
- Omaforos Contests (OFO, FOFO, COFFEE) (Аргентина)
- Фиолетовая комета! Math Meet (США)
- QEDMO
- Карантин MO (мексиканский, глобальный)
- Настоящий шорт-лист IMO (Международная олимпиада монстров)
- US ERSATZ MATH OLYMPIAD (USEMO)
- VMEO (Вьетнам) (VMF)
(IMOR)0010
(приложение экс-СССР)
- Олимпиада учителей геометрии Адыгеи (Россия)
- АОНЦ МГУ Интернет МО (Россия)
- Всероссийская математическая олимпиада
- Всесибирская открытая олимпиада школьников (Россия)
- Всесоюзная математическая олимпиада (АГУ)
- Алматинская городская олимпиада (Казахстан)
- Армения Математическая олимпиада
- Белорусская математическая олимпиада
- Беларусь ТСТ
- Кавказская математическая олимпиада
Турнир Чемпионов (Турнір чемпіонів) (Украина)
- г. Кишинев MO (Молдова)
- Эстония Open MO
- Эстония Национальный MO
- Эстония TST
- Олимпиада Эйлера (Россия)
- МО Эйлера Учителей (Россия)
- Европейский математический турнир
- Формула единства / третьего тысячелетия (Россия)
- Высокие стандарты Олимпиада (В. Айя Проба) (Россия)
- Георгия TST
- Университет Иннополис открытый Мо (Россия)
- Изумрудская олимпиада «Изумруд» УрФУ (Россия)
- Казахстанская математическая олимпиада
- Олимпиада Харкив -Сити (Украина)
- Харкив Лицеум № 27 (Украина)
- Турнир Харкив Мастерс (Украина)
- Кукин Мо — Омсу (Россия)
- Курчаков Олимпиад (Россия)
- Кванта МО (Украина)
- Киевская городская олимпиада (Украина)
- KYIV Matematic Festival
- Kyiv TST (для Winderne MO)
- Kyiv TST (для UKRaine MO)
- Ленинградская математическая олимпиада (LMO)
- Литва: Великое княжество
- Литва TST
- Турнир Lomonosov (Россия)
- Математический мультиатлон Турнир (Россия)
- Матол онлайн олимпиада (Казакштан)
- Мегаполисы Международная Олимпиада (МОМ)
- Минск Сити Интернет МО (Беларусь)
- МФТИ Митрополит МО (Россия)
- Москва Сити Мо (MMO)
- Московский город Олимпиада оральная геометрия (Россия)
- Московский город Оральный Мои Ви-Ви (Россия)
- Московский городский пероральная команда MO (Russia)
- Соревнование по переписке москов МО учителя (Россия)
- Молдова MO
- Молдова JBMO TST
- Молдова ТСТ
- Новосибирск Oral Geometry (Россия)
- Русановский лицей, г. Киев 0
- Saint Petersburg City MO
SAVIN CANTERY (Россия)
Savin Tournament (Россия)
Геометрия Sharygin Geometry Olympiad (Russia)
Соревнование по математике Silk Road (SRMC)
- Турнир по международной математике городов (TOT) (до 2001 г.)
- Туймаадская международная олимпиада (Россия)
- Украина Математическая олимпиада
- Украина ТСТ
- Украина Переписка МО
- Украина От задачи к задаче
- Украина Турнир юных математиков (ТЮМ)
- Олимпиада ВУ МИФ (Литва)
- Ясинская олимпиада по геометрии (Украина)
- Детско-юношеская математическая школа (Россия)
- Жаутыковская Международная Олимпиада (ИЖО)
- г. Жаутыков МО0010
- 239 Открытая олимпиада по математике (Санкт-Петербургский лицей, Россия)
Кишинев MO (Молдова) 9
Киев 0 
Жаутыков МО0010
Домашний
Подписаться на:
Сообщения (Atom)
Задачи по геометрии от ИМО: майская олимпиада 1995
задачи по геометрии с майских олимпиад
со ссылками aops в именах
Olimpíada de Mayo / Maio
[Olimpíada Iberoamericana Juvenil]
собран внутри aops здесь
1995 — 2022
уровень 2 (<=15 лет)
Майская олимпиада 1995 L2 P4
Рассмотрим пирамиду, основанием которой является равносторонний треугольник $BCD$, а другими гранями являются равнобедренные треугольники, расположенные прямо в общей вершине $A$. Муравей покидает вершину $B$, попадает в точку $P$ ребра $CD$, оттуда идет в точку $Q$ ребра $AC$ и возвращается в точку $B$. Если пройденный вами путь минимален, то чему равен угол $PQA$?
1996 Майская олимпиада L2 P1
Пусть $ABCD$ — прямоугольник.
Прямая $r$ движется параллельно $AB$ и пересекает диагональ $AC$ , образуя два противоположных вершины треугольника внутри прямоугольника. Докажите, что сумма площадей этих треугольников минимальна, когда $r$ проходит через середину отрезка $AD$.
1996 Майская олимпиада L2 P4
Пусть $ABCD$ — квадрат, а точка $F$ — любая точка на стороне $BC$. Пусть прямая, перпендикулярная $DF$, проходящая через $B$, пересекает прямую $DC$ в точке $Q$. Каково значение $\angle FQC$?
1997 Майская олимпиада L2 P3
В квадрате $ABCD$ со стороной $k$ пусть $P$ и $Q$ лежат в $BC$ и $DC$ соответственно, где $PC = 3PB$ и $QD = 2QC $. Пусть $M$ — точка пересечения прямых $AQ$ и $PD$, определите площадь $QMD$ в зависимости от $k$
1997 Майская олимпиада L2 P5
Каковы возможные площади шестиугольника со всеми углами равными и сторонами $1, 2, 3, 4, 5$ и $6$, в некотором порядке?
Майская олимпиада 1998 г. L2 P2
Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник.
$N$ — точка на стороне $AC$ такая, что $\vec{AC} = 7\vec{AN}$, $M$ — точка на стороне $AB$ такая, что $MN$ параллельна $ BC$ и $P$ — точка на стороне $BC$ такая, что $MP$ параллельна $AC$. Найдите отношение площадей $\frac{ (MNP)}{(ABC)}$ 92$
1999 Май Олимпиада L2 P4
Пусть $ABC$ – равносторонний треугольник. $M$ — середина отрезка $AB$, а $N$ — середина отрезка $BC$. Пусть $P$ — точка вне $ABC$ такая, что треугольник $ACP$ равнобедренный и прямой в $P$. $PM$ и $AN$ разрезаются на $I$. Докажите, что $CI$ — биссектриса угла $MCA$.
1999 Май Олимпиада L2 P5
Есть $12$ точек, которые являются вершинами правильного многоугольника с $12$ сторонами. Рафаэль должен нарисовать отрезки, два конца которых находятся в двух начерченных точках. Ему разрешено, чтобы каждая точка была конечной точкой более чем одного сегмента и чтобы сегменты пересекались, но ему запрещается рисовать три сегмента, которые являются тремя сторонами треугольника, в котором каждая вершина является одной из $12$ начальных точек.
. Найдите максимальное количество отрезков, которые может нарисовать Рафаэль, и обоснуйте, почему он не может нарисовать большее количество отрезков.
2000 Май Олимпиада L2 P2
Дан параллелограмм площадью $1$ и построим прямые, соединяющие вершину с серединой стороны, не смежной с этой вершиной; с образованными линиями $8$ у нас есть восьмиугольник внутри параллелограмма. Определите площадь этого восьмиугольника.
2000 Майская олимпиада L2 P3
Пусть $S$ — окружность с радиусом $2$, пусть $S_1$ — окружность с радиусом $1$ и касательной, внутренней к $S$ в $B$, и пусть $S_2$ быть окружностью с радиусом $1$ и касательной к $S_1$ в $A$, но $S_2$ не касается $S$. Если $K$ — точка пересечения прямой $AB$ и окружности $S$, докажите, что $K$ лежит в окружности $S_2$
Майская олимпиада 2001 г. L2 P2
На трапеции $ABCD$ сторона $DA$ перпендикулярна основаниям $AB$ и $CD$. Основание $AB$ равно 45$, основание $CD$ равно 20$, а сторона $BC$ равна 65$.
Пусть $P$ на стороне $BC$ такой, что $BP$ измеряет $45$, а $M$ является серединой $DA$. Вычислите меру сегмента $PM$.
Майская олимпиада 2001 г. L2 P4
Десять монет радиусом $1$ см размещены по кругу, как показано на рисунке. Каждая монета касается окружности и двух соседних монет. Докажите, что сумма площадей десяти монет в два раза больше площади круга.
2002 Майская олимпиада L2 P3
В треугольнике $ABC$, прямом в $A$ и равнобедренном, пусть $D$ — точка на стороне $AC$ ($A \ne D \ne C$) и $E $ — точка на продолжении $BA$ такая, что треугольник $ADE$ равнобедренный. Пусть $P$ — середина отрезка $BD$, $R$ — середина отрезка $CE$, а $Q$ — точка пересечения отрезков $ED$ и $BC$. Докажите, что четырехугольник $ARQP$ является квадратом.
2003 Майская олимпиада L2 P2
Пусть $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $AB = 4$ и $BC = 3$. Перпендикуляр к диагонали $BD$, проведенный из $A$, пересекает $BD$ в точке $H$.
Мы называем $M$ серединой $BH$, а $N$ — серединой $CD$. Вычислить меру отрезка $MN$.
2003 May Olympiad L2 P4
Боб нанес на плоскость $2003$ зеленых точек, поэтому площадь всех треугольников с тремя зелеными вершинами меньше $1$. Докажите, что $2003$ зеленых точек содержатся в треугольнике $T$ площади меньше $4$.
2003 May Olympiad L2 P5
Муравей, стоящий на ребре куба со стороной $8$, должен пройти по поверхности и вернуться в исходную точку. Его путь должен содержать внутренние точки шести граней куба и должен посещать каждую грань куба только один раз. Найдите длину пути, который может пройти муравей, и обоснуйте, почему это кратчайший путь.
Майская олимпиада 2004 г. L2 P3
У нас есть бильярдный стол длиной 8$ метров и шириной 2$ метра с одним шаром в центре. Мы бросаем мяч по прямой линии, и, пройдя $29$ метров, он останавливается в углу стола. Сколько раз мяч ударялся о края стола?
Примечание.
Когда мяч отскакивает от края стола, два угла, образующие его траекторию с краем стола, одинаковы.
2005 May Olympiad L2 P1
Вражеский корабль приземлился на $9\times 9$ поле, которое покрывает ровно $5$ клеток поля, например:
Корабль невидим. Каждая защитная ракета покрывает ровно одну клетку и уничтожает корабль, если попадает в одну из занимаемых им клеток размером $5$. Определите минимальное количество ракет, необходимое для уверенного уничтожения корабля противника.
2005 Майская олимпиада L2 P3
В треугольнике $ABC$, где $AB = AC$, пусть $M$ — середина треугольника $CB$, а $D$ — точка в $BC$ такая, что $\угол BAD = \frac{\angle BAC}{6}$. Перпендикуляр к $AD$ через $C$ пересекает $AD$ в $N$, где $DN = DM$. Найдите углы треугольника $BAC$
Майская олимпиада 2006 г. L2 P4
Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AB$ и $CD$. Пусть $O$ — точка пересечения ваших диагоналей $AC$ и $BD$. Если площадь треугольника $ABC$ равна $150$, а площадь треугольника $ACD$ равна $120$, вычислите площадь треугольника $BCO$.
2007 Май Олимпиада L2 P5
В треугольнике $ABC$ имеем $\угол A = 2\угол C$ и $2\угол B = \угол A + \угол C$. Биссектриса угла $\angle C$ пересекает отрезок $AB$ в $E$, пусть $F$ — середина $AE$, $AD$ — высота треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к $DF$ пересекает $AC$ в $M$. Докажите, что $AM = CM$ 9о$. Перпендикуляр из $A$ на $BP$ пересекает $BP$ в точке $M$, а перпендикуляр из $D$ на $CP$ пересекает $CP$ в $N$. Докажите, что центр прямоугольника лежит на отрезке $MN$.
2008 May Olympiad L2 P4
На плоскости имеем $16$ прямых (не параллельных и не совпадающих), имеем $120$ точек пересечения этих прямых. Себастьян должен раскрасить эти $120$ точек так, чтобы в каждой строке все закрашенные точки были разного цвета, найдите минимальное количество цветов, которое нужно Себастьяну, чтобы закрасить эти точки. Если у нас есть $15$ линий (в этой ситуации у нас есть $105$ очков), каково минимальное (количество) цветов? 9о$. Если $E$ — середина стороны $AD$, определите меру угла $\angle CED$.
2010 May Olympiad L2 P2
Пусть $ABCD$ — прямоугольник и окружность с центром $D$ и радиусом $DA$, пересекающая продолжение стороны $AD$ в точке $P$. Прямая $PC$ пересекает окружность в точке $Q$ и продолжение стороны $AB$ в точке $R$. Покажите, что $QB = BR$.
Майская Олимпиада 2011 L2 P3
В прямоугольном треугольнике $ABC$, таком что $AB = AC$, $M$ является серединой $BC$. Пусть $P$ — точка на серединном перпендикуляре к $AC$, лежащая в полуплоскости, определяемой $BC$, не содержащей $A$. Прямые $CP$ и $AM$ пересекаются в точке $Q$. Вычислите углы, образующие прямые $AP$ и $BQ$. 9\circ$. Пусть $M$ — середина $BC$. Перпендикуляр $AC$ в точке $C$ пересекает $AB$ в точке $D$. Показать $\angle AMB = \angle DMC$
2012 May Olympiad L2 P4
Даны шесть точек, так что на одной прямой не три точки и длины отрезков, определяемых этими точками, все разные. Мы считаем, что все треугольники имеют свои вершины в этих точках.
Докажите, что существует отрезок, который является одновременно самой короткой стороной одного из этих треугольников и самой длинной стороной другого.
Майская олимпиада 2013 г. L2 P2
Постройте середину отрезка, используя немаркированную линейку и трисектрису, отмечающую в отрезке две точки, делящие отрезок на три равные части.
2013 May Olympiad L2 P3
На плоскости отмечено много различных точек. Учащийся проводит все отрезки, определяемые этими точками, а затем проводит линию r, которая не проходит ни через одну из отмеченных точек, но пересекает ровно $60$ нарисованных отрезков. Сколько сегментов не было разрезано r? Дайте все возможности.
Майская олимпиада 2014 г. L2 P2
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ пусть $M$, $N$, $P$ и $Q$ — середины $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно. Если $MP$ и $NQ$ делят $ABCD$ на четыре четырехугольника с одинаковой площадью, докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.
2015 May Olympiad L2 P3
Пусть $ABCDEFGHI$ — правильный многоугольник из $9$ сторон. Отрезки $AE$ и $DF$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что $PG$ и $AF$ перпендикулярны.
Майская Олимпиада 2015 L2 P5
Если у вас есть $65$ точек на плоскости, мы проведем прямые, которые проходят через любые две точки на этой плоскости, и мы получим ровно $2015$ различных прямых, докажите, что минимум $4$ точек коллинеарны!!
Майская олимпиада 2016 L2 P4
В треугольнике $ABC$ пусть $D$ и $E$ — точки сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Отрезки $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. Предположим, что прямая, соединяющая середины треугольника и параллельная $AB$, делит пополам отрезок $DE$. Докажите, что площади треугольника $ABO$ и четырехугольника $ODCE$ равны.
Майская олимпиада 2016 L2 P5
Роза и Сара играют с треугольником $ABC$ прямо в точке $B$. Роза начинает с того, что отмечает две внутренние точки гипотенузы $AC$, затем Сара отмечает внутреннюю точку гипотенузы AC, отличную от точек Розы.
Затем из этих трех точек проводятся перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$, образуя следующую фигуру.
Сара побеждает, если площадь заштрихованной поверхности равна площади незаштрихованной поверхности, в противном случае побеждает Роза. Определите, у кого из двоих есть выигрышная стратегия.
2017 May Olympiad L2 P3
Пусть $ABCD$ — четырехугольник такой, что $\угол ABC = \угол ADC = 90º$ и $\угол BCD$ > $90º$. Пусть $P$ — точка внутри $ABCD$ такая, что $BCDP$ — параллелограмм, прямая $AP$ пересекает $BC$ в $M$. Если $BM = 2, MC = 5, CD = 3$. Найдите длину $AM$.
Майская олимпиада 2018 г. L2 P4
В параллелограмме $M$ обозначим точку на стороне $BC$ так, что $MC = 2BM$, и $N$ обозначим точку стороны $CD$ так, что $NC = 2DN$. Если расстояние от точки $B$ до прямой $AM$ равно $3$, вычислите расстояние от точки $N$ до прямой $AM$. 9о$. Покажите, что $\угол APR =\угол RPQ$.
2019 May Olympiad L2 P5
Рассмотрим $n$ вершин правильного многоугольника с $n$ сторонами.
Существует множество треугольников с вершинами в этих $n$ точках, обладающих тем свойством, что для каждого треугольника в наборе стороны хотя бы одного из них не являются сторонами ни одного другого треугольника в наборе. Какое наибольшее количество треугольников может иметь множество?
2020 May Olympiad L2 P4
Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямой точкой $B$, и пусть $M$ — середина стороны $BC$. Пусть $P$ — точка биссектрисы угла $\angle BAC$ такая, что $PM$ перпендикулярен $BC (P$ лежит вне треугольника $ABC$). Определить площадь треугольника $ABC$, если $PM = 1$ и $MC = 5$. 9о $ . Если $DF=DE$, найти меру угла $\angle FDE$.
2022 Май Олимпиада L2 P5
На доске отмечены вершины правильного многоугольника с $N$ сторонами. Ана и Бето играют по очереди, начинает Ана. Каждый игрок, в свою очередь, должен сделать следующее:
$\bullet$ соединить две вершины отрезком, не разрезая другой уже отмеченный отрезок; или
$\bullet$ удалить вершину, не принадлежащую ни одному отмеченному сегменту.
Игрок, который не может предпринять никаких действий в свой ход, проигрывает. Определите, кто из двух игроков может гарантировать победу:
а) если $N=28$
б) если $N=29$
Уровень 1 (<=13 лет)
Майская олимпиада 1995 L1 P4
У нас есть четыре белых равносторонних треугольника по 3 см с каждой стороны, и мы соединим их сторонами, чтобы получить треугольную пирамиду в основании. На каждом ребре пирамиды отмечаем по две красные точки, которые делят ее на три равные части. Пронумеруйте красные точки так, чтобы при прокрутке их в том порядке, в котором они были пронумерованы, получился путь с наименьшим возможным периметром. Сколько измеряет этот путь?
Майская олимпиада 1995 года L1 P5
Черепаха проходит $60$ метров в час, а ящерица — $240$ метров в час. Существует прямоугольник $ABCD$, где $AB=60$ и $AD=120$. Оба начинаются из вершины $A$ и в одном направлении ($A\to B\to D\to A$), пересекая ребро прямоугольника.
Ящерица имеет привычку продвигаться вперед на две последовательные стороны прямоугольника, поворачиваясь на одну назад, поворачиваясь на две вперед, поворачиваясь на одну назад и так далее. Сколько раз и в каких местах встречаются черепаха и ящерица, когда черепаха совершает третий оборот? 9о$. $AB$ измеряет $30$ млн, $AD$ измеряет $20$ млн и $DC$ измеряет 45 млн. долларов. Эту землю необходимо разделить на два участка одинаковой площади, проведя параллель к стороне $AD$. На каком расстоянии от $D$ нужно провести параллель?
Майская олимпиада 1997 года L1 P2
В прямоугольнике $ABCD M, N, P$ и $Q$ являются серединами сторон. Если площадь заштрихованного треугольника равна $1$, вычислите площадь прямоугольника $ABCD$.
Майская олимпиада 1998 года L1 P4
$ABCD$ — квадрат с центром $O$. На сторонах $DC$ и $AD$ построены равносторонние треугольники $DAF$ и $DCE$. Решите, является ли площадь треугольника $EDF$ больше, меньше или равна площади треугольника $DOC$.
Майская олимпиада 1999 г. L1 P2
В параллелограмме $ABCD$ $BD$ является наибольшей диагональю. Сопоставив $B$ с $D$ с помощью изгиба, получится правильный пятиугольник. Вычислите меры углов, образованных диагональю $BD$ с каждой из сторон параллелограмма.
Майская олимпиада 1999 г. L1 P4
Десять квадратных картонок со стороной $3$ сантиметров разрезаны линией, как показано на рисунке. После разрезов остаются куски по 20$: треугольники по 10$ и трапеции по 10$. Соберите квадрат, используя все детали по 20 долларов без наложений и зазоров.
2000 Май Олимпиада L1 P2
Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник в $A$, длина катета которого равна $1$ см. Биссектриса угла $BAC$ пересекает гипотенузу в $R$, перпендикуляр к $AR$ на $R$ пересекает сторону $AB$ в ее середине. Найдите размер стороны $AB$ .
2001 Майская олимпиада L1 P2
Возьмем прямоугольник бумаги $ABCD$; сторона $AB$ равна $5$ см, а сторона $BC$ равна $9$ см.
Делаем три сгиба:
1. Берем сторону $AB$ на стороне $BC$ и называем $P$ точку на стороне $BC$, совпадающую с $A$. При этом образуется правильная трапеция $BCDQ$.
2. Складываем так, чтобы $B$ и $Q$ совпадали. Образуется $5$-сторонний многоугольник $RPCDQ$.
3. Складываем снова, сопоставляя $D$ с $C$ и $Q$ с $P$. Новая правая трапеция $RPCS$.
Сделав эти складки, делаем разрез перпендикулярно $SC$ по его середине $T$, получая прямую трапецию $RUTS$. Вычислите площадь фигуры, которая появится при разворачивании последней трапеции $RUTS$.
2002 Май Олимпиада Л1 П2
Прямоугольный лист бумаги (белый с одной стороны и серый с другой) сложил втрое, как показано на рисунке:
У прямоугольника $1$, который был белым после первого сгиба, периметр на $20$ см больше, чем у прямоугольника $2$, который стал белым после второго сгиба, а у этого, в свою очередь, периметр на $16$ см больше, чем у прямоугольника $3$, который после второго сгиба стал белым.
третья складка. Определить площадь листа.
2003 Майская олимпиада L1 P2
Треугольник $ABC$ прямоугольный в $A$ и $R$ является серединой гипотенузы $BC$ . На большом катете $AB$ отмечена точка $P$ такая, что $CP = BP$, а на отрезке $BP$ отмечена точка $Q$ такая, что треугольник $PQR$ равносторонний. Если площадь треугольника $ABC$ равна $27$, вычислите площадь треугольника $PQR$ .
Майская олимпиада 2004 г. L1 P2
Внутри квадрата размером $11\x 11$ Пабло нарисовал прямоугольник и, продолжив его стороны, разделил квадрат на прямоугольники размером $5$, как показано на рисунке.
София сделала то же самое, но ей также удалось сделать длины сторон прямоугольников $5$ целыми числами от $1$ до $10$, причем все они разные. Покажите фигурку, подобную той, которую сделала София.
Майская олимпиада 2004 г. L1 P4
В квадрате $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$ обозначим $O$ в центре квадрата. Строится квадрат $PQRS$ со сторонами, параллельными сторонам $ABCD$, с $P$ на отрезке $AO, Q$ на отрезке $BO, R$ на отрезке $CO, S$ на отрезке $DO$.
Если площадь $ABCD$ в два раза больше площади $PQRS$, а $M$ является серединой стороны $AB$, вычислите меру угла $\угол AMP$.
2005 Майская олимпиада L1 P4
Есть две бумажные фигуры: равносторонний треугольник и прямоугольник. Высота прямоугольника равна высоте треугольника, а основание прямоугольника равно основанию треугольника. Разделите треугольник на три части, а прямоугольник на две, используя прямые разрезы, чтобы из пяти частей можно было собрать без зазоров и наложений равносторонний треугольник. Чтобы собрать фигурку, каждую часть можно вращать и/или переворачивать.
9о$. Вы должны разделить пятиугольник на четыре треугольника тремя прямыми разрезами, чтобы из четырех треугольников собрать прямоугольник без зазоров и наложений. (Треугольники можно вращать и/или переворачивать.)
Майская олимпиада 2008 L1 P4
Пусть $ABF$ — прямоугольный треугольник с $\угол AFB = 90$, квадрат $ABCD$ находится снаружи треугольника . Если $FA = 6$, $FB = 8$ и $E$ — центр описанной окружности квадрата $ABCD$, определите значение $EF$
Майская олимпиада 2009 L1 P4
Три окружности касаются друг друга, как показано на рисунке.
Область внешнего круга, не покрытая двумя внутренними кругами, имеет площадь, равную $2$ p. Определить длину отрезка $PQ$
Майская олимпиада 2010 L1 P1
Закрытая емкость в форме прямоугольного параллелепипеда содержит $1$ литр воды. Если сосуд стоит горизонтально с трех разных сторон, уровень воды равен $2$ см, $4$ см и $5$ см. Вычислите объем параллелепипеда.
Майская олимпиада 2011 L1 P3
В прямоугольнике $ABCD BC = 5, EC = 1/3 CD$ и $F$ — точка пересечения $AE$ и $BD$. Треугольник $DFE$ имеет площадь $12$, а треугольник $ABF$ имеет площадь $27$. Найдите площадь четырехугольника $BCEF$ .
Майская олимпиада 2012 L1 P1
Из бумажного четырехугольника, подобного изображенному на рисунке, нужно вырезать новый четырехугольник, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника. разрез по некоторым линиям складок. Опишите складки и разрезы и докажите, что площадь равна половине.
9о$. Пусть $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $AC$. Пусть $P$ таков, что $MNP$ — равносторонний треугольник с $P$ внутри четырехугольника $MBCN$. Вычислить меру $\угла CAP$
2015 Майская олимпиада L1 P3
В четырехугольнике $\угол C$ равен тройке $\угла A$, пусть $P$ – точка стороны $AB$ такой, что $\угол DPA = 90º$, и пусть $Q$ — точка на отрезке $DA$, где $\угол BQA = 90º$, а отрезки $DP$ и $CQ$ пересекаются в $O$ такие, что $BO = CO = DO$, найти $\угол A$ и $\угол C$.
Майская олимпиада 2016 L1 P4
В треугольнике $ABC$ пусть $D$ и $E$ указывают на стороны $BC$ и $AC$ соответственно. Отрезки $AD$ и $BE$ пересекаются в $O$, пусть $r$ — прямая (параллельная $AB$) такая, что $r$ пересекает $DE$ в вашей средней точке, покажите, что треугольник $ABO$ и четырехугольники $ODCE$ имеют одинаковую площадь.
2017 Май Олимпиада L1 P3
Пусть $ABCD$ — ромб со сторонами $AB = BC = CD= DA = 13$. На стороне $AB$ постройте ромб $BAFC$ вне $ABCD$ и такой, что сторона $AF$ параллельна диагонали $BD$ ромба $ABCD$.
Если площадь $BAFE$ равна $65$, вычислите площадь $ABCD$.
2018 May Olympiad L1 P3
Пусть $ABCDEFGHIJ$ — правильный десятисторонний многоугольник, все вершины которого лежат в одной окружности с центром $O$ и радиусом $5$. Диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $P$, а диагонали $AH$ и $BI$ пересекаются в точке $Q$. Вычислить меру сегмента $PQ$.
Майская Олимпиада 2019 L1 P4
Вы должны разделить квадратный лист бумаги на три части двумя прямыми разрезами так, чтобы при правильном расположении этих частей, без зазоров и перекрытий, образовался тупоугольный треугольник. Укажите, как разрезать квадрат и как собрать треугольник из трех частей.
2020 Майская олимпиада L1 P3
Бестолковый муравей прокладывает следующий маршрут: начиная с точки $A$, он идет на $1$ см на север, затем на $2$ см на восток, затем на $3$ см на юг, затем на $4$ см на запад , сразу на $5$ см на север, продолжается на $6$ см на восток и так далее, наконец, на $41$ см на север и заканчивается в точке $B$.
Вычислите расстояние между $A$ и $B$ (по прямой).
Майская олимпиада 2021 L1 P1
В лесу есть $5$ деревьев $A, B, C, D, E$, расположенных в указанном порядке на прямой. В середине $AB$ находится маргаритка, в середине $BC$ — розовый куст, в середине $CD$ — жасмин, а в середине $DE$ — гвоздика. Расстояние между $A$ и $E$ равно $28$ м; расстояние между ромашкой и гвоздикой $20$ м. Вычислите расстояние между розовым кустом и жасмином.
Майская Олимпиада 2021 L1 P4
Факундо и Лука получили торт в форме четырехугольника на рисунке.
Они сделают два прямых разреза на торте, получив порции по $4$ в форме четырехугольника. Тогда у Факундо останутся две части, которые не имеют общей стороны, две другие будут для Луки. Покажите, как они могут разрезать куски так, чтобы оба ребенка получили одинаковое количество торта. Обоснуйте, почему сокращение таким образом достигает цели.
2022 Май Олимпиада L1 P5
У Веро был равнобедренный треугольник из бумаги.